Pengertian Bilangan Rasional dan Irasional serta Contohnya

Bilangan rasional dan irasional merupakan 2 jenis bilangan yang merupakan bagian dari sistem bilangan real (ℝ). Berikut dijelaskan mengenai pengertian, sifat, dan contohnya masing-masing.

Artikel terkait: Bilangan Real | Pengertian Bilangan Real dan Contohnya

Navigasi Cepat:

• A. Pengertian Bilangan Rasional (ℚ)
  1. Contoh Bilangan Rasional
  2. Sifat-Sifat Bilangan Rasional
• B. Pengertian Bilangan Irasional
  1. Contoh Bilangan Irasional
  2. Sifat Bilangan Irasional

A. Pengertian Bilangan Rasional (ℚ)

Bilangan rasional adalah sistem bilangan yang merupakan himpunan dari semua bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a, b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Secara fundamental bilangan rasional berasal dari bahasa inggris yaitu "rational" karena bilangan ini dapat dinyatakan dalam bentuk perbandingan (rasio). Ahli matematika memberikan simbol ℚ untuk bilangan rasional.

Artikel terkait: Pengertian serta Contoh Bilangan Bulat Positif dan Negatif

Misalnya:

Bilangan 1,2 termasuk bilangan rasional, karena dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan berikut

1,2 dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan 12/10, 6/5, ataupun bentuk pecahan lain yang memenuhi a/b dengan a, b (bilangan bulat) dan b ≠ 0. Sehingga 1,2 termasuk bilangan rasional.

A1. Contoh Bilangan Rasional

Bilangan
a/b
Rasional

A2. Sifat-Sifat Bilangan Rasional

Bilangan rasional dapat didefinisikan untuk setiap merupakan bilangan rasional dalam bentuk pecahan, maka berlaku sifat-sifat berikut:

1. Dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a, b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0

2. Tertutup, terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

   Penjumlahan dan perkalian antar bilangan rasional juga menghasilkan bilangan rasional.

   menghasilkan bilangan rasional.

   menghasilkan bilangan rasional.

3. Komutatif, terhadap operasi penjumlahan dan perkalian 

   Penjumlahan dan perkalian antar bilangan rasional mempunyai sifat komutatif, yang dapat dirumuskan sebagai berikut.

   

4. Asosiatif, terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

   Penjumlahan dan perkalian antar bilangan rasional mempunyai sifat asosiatif, yang dapat dirumuskan sebagai berikut.

   

5. Distributif

   Bilangan rasional mempunyai sifat distributif, yang dapat dirumuskan sebagai berikut.

   

6. Punya elemen identitas penjumlahan dan perkalian

   • Bentuk adalah elemen identitas penjumlahan bilangan rasional, karena setiap x bilangan rasional yang dijumlahkan dengan hasilnya adalah x bilangan rasional itu sendiri.
     
   • Bentuk adalah elemen identitas perkalian bilangan rasional, karena setiap x bilangan rasional yang dikalikan dengan hasilnya x bilangan rasional itu sendiri.
     

7. Setiap elemen punya invers terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

   Setiap bilangan rasional mempunyai elemen invers terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Sehingga setiap bilangan rasional yang dioperasikan dengan invers menghasilkan elemen identitas.

   • Bentuk adalah invers penjumlahan untuk setiap bilangan rasional , sehingga berlaku persamaan berikut.
     
   • Bentuk adalah invers perkalian untuk setiap bilangan rasional ≠ 0, sehingga berlaku persamaan berikut.
     

8. Perkalian dengan Nol (0)

   Perkalian bilangan rasional dengan angka nol menghasilkan angka nol, sehingga berlaku persamaan berikut.

   

9. Mempunyai bentuk desimal berulang

   Bilangan rasional mempunyai bentuk desimal berulang.

   Contoh:
   1 = 1,0000000 …
   1/3 = 0,333333 …
   12/11= 1,090909 …
   13/3 = 4,333333 …

B. Pengertian Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah sistem bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a, b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0, namun dapat dinyatakan dalam bentuk desimal.

B1. Contoh Bilangan Irasional dan Penjelasannya

Bilangan
a/b
irasional

B2. Sifat-Sifat Bilangan Irasional

Secara umum bilangan irasional mempunyai sifat sebagai berikut:

1. Tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a, b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0

2. Memenuhi Sifat Komutatif Penjumlahan dan Perkalian

   Misalnya a dan b adalah bilangan irasional, maka berlaku sifat komutatif untuk operasi penjumlahan dan perkalian.

   Sifat komutatif penjumlahan:
   a + b = b + a
   Sifat Komutatif Perkalian:
   a × b = b × a

3. Memenuhi Sifat Asosiatif Penjumlahan dan Perkalian

   Misalnya a, b, dan c adalah bilangan irasional, maka berlaku sifat asosiatif untuk operasi penjumlahan dan perkalian.

   Sifat asosiatif penjumlahan:
   (a + b) + c = a + (b + c)
   Sifat asosiatif perkalian:
   (a × b) × c = a × (b × c)

4. Memenuhi Sifat Distributif terhadap Penjumlahan dan Pengurangan

   Misalnya a, b, dan c adalah bilangan irasional, maka berlaku sifat distributif.

   Sifat distributif terhadap penjumlahan:
   a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
   Sifat distributif terhadap pengurangan:
   a × (b – c) = (a × b) – (a × c)

   Artikel terkait: Sifat Komutatif, Asosiatif, dan Distributif pada Operasi Hitung

5. Punya Elemen Identitas

   Elemen identitas pada bilangan irasional sama dengan elemen identitas pada bilangan real, yaitu 0 untuk operasi penjumlahan dan 1 untuk operasi perkalian.

   Contoh: suatu bilangan irasional √2 memenuhi
   Identitas penjumlahan
   √2 + 0 = √2
   Identitas perkalian
   √2 × 1 = √2

6. Setiap Elemen Punya Invers

   Invers bilangan irasional suatu bilangan dapat dihitung berdasarkan konsep pecahan, perlu dicatat bentuk pecahan a/b bilangan irasional "tidak memenuhi" a dan b = bulat. Perlu diketahui suatu bilangan yang dioperasikan dengan suatu operasi dengan inversnya menghasilkan elemen identitas operasi yang digunakan.

   Contoh:

   Π adalah bilangan irasional yang dapat ditulis sebagai Π/1.
   Maka invers perkalian dari Π adalah 1/Π
   Maka invers penjumlahan dari Π adalah -Π

   √3 adalah bilangan irasional yang dapat ditulis sebagai √3/1.
   Maka invers perkalian dari √3 adalah 1/√3
   Maka invers penjumlahan dari √3 adalah -√3

7. Operasi Perkalian dengan Nol menghasilkan Nol

   Setiap bilangan irasional yang dikalikan dengan nol akan menghasilkan angka nol.

8. Tidak mempunyai bentuk desimal berulang

   Bilangan irasional tidak membentuk pola berulang

   Contoh √2 = 1,414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831…
   Hingga digit ke-2 juta, pola berulang dari √2 belum juga ditemukan.
   Perhitungan dilakukan oleh Robert Nemiroff (George Mason University and NASA Goddard Space Flight Center) dan diperiksa oleh Jerry Bonnell (University Space Research Association and NASA Goddard Space Flight Center).

9. Mempunyai bentuk akar tidak sempurna dengan hasil desimal tidak berulang

   Bentuk akar tidak sempurna adalah bentuk akar yang menghasilkan nilai tidak bulat.

   Contoh:

   √2 = 1.4142135…
   √3 = 1.7320508…
   √5 = 2.236067…

10. Mempunyai sifat tidak tertutup

    Sifat tidak tertutup pada bilangan irasional disebabkan karena operasi penjumlahan dan perkalian antar bilangan irasional dapat menghasilkan bilangan rasional.

    Contoh:

    √2 × √2 = √4 = 2; hasil rasional
    √2 × √3 = √6; hasil tetap irasional

Baca juga tutorial lainnya: Daftar Isi Pelajaran Matematika

Sekian artikel “Pengertian Bilangan Rasional dan Irasional serta Contohnya“. Nantikan artikel menarik lainnya dan mohon kesediaannya untuk share dan juga menyukai halaman Advernesia. Terima kasih…